Bao lâu thì chất phóng xạ này thôi độc hại?

Để xác định sau ít nhất bao nhiêu năm thì chất phóng xạ này không còn độc hại, chúng ta cần tìm giá trị (n) nhỏ nhất sao cho khối lượng chất phóng xạ còn lại (u_n) bé hơn (10^{-5}) g. Trước hết, ta quy đổi các đơn vị về cùng một hệ: * Khối lượng ban đầu: (m_0 = 0,9) kg ( = 900 ) g. * Ngưỡng không độc hại: (10^{-5}) g. * Chu kỳ bán rã: (T = 28.000) năm. Công thức tính khối lượng chất phóng xạ còn lại sau (n) chu kỳ bán rã là: (u_n = m_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n) Ta cần tìm (n) nhỏ nhất sao cho: (u_n < 10^{-5}) g (900 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n < 10^{-5}) Để giải bất phương trình này, ta thực hiện các bước sau: 1. Chia cả hai vế cho 900: (\left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{10^{-5}}{900}) (\left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1}{900 \times 10^5}) (\left(\frac{1}{2}\right)^n < \frac{1}{9 \times 10^7}) 2. Lấy logarit tự nhiên (ln) hoặc logarit cơ số 10 (log) cả hai vế. Sử dụng logarit tự nhiên: ( \ln\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right) < \ln\left(\frac{1}{9 \times 10^7}\right) ) ( n \ln\left(\frac{1}{2}\right) < \ln(1) - \ln(9 \times 10^7) ) ( n (-\ln 2) < - (\ln 9 + \ln 10^7) ) ( -n \ln 2 \ln 9 + 7 \ln 10 ) 3. Chia cả hai vế cho ( \ln 2 ): ( n > \frac{\ln 9 + 7 \ln 10}{\ln 2} )Sử dụng giá trị xấp xỉ: ( \ln 2 \approx 0,693 ) ( \ln 9 = \ln(3^2) = 2 \ln 3 \approx 2 \times 1,0986 = 2,1972 ) ( \ln 10 \approx 2,3026 )( n > \frac{2,1972 + 7 \times 2,3026}{0,693} ) ( n > \frac{2,1972 + 16,1182}{0,693} ) ( n > \frac{18,3154}{0,693} ) ( n > 26,428 ) Vì (n) phải là số nguyên biểu thị số chu kỳ bán rã, nên giá trị nguyên nhỏ nhất của (n) thỏa mãn điều kiện này là (n = 27). Số năm cần thiết sẽ là (n \times T): Số năm ( = 27 \times 28.000 ) năm Số năm ( = 756.000 ) năm. Kết luận: Sau ít nhất 27 chu kỳ bán rã, tương đương với 756.000 năm, khối lượng chất phóng xạ này sẽ còn lại bé hơn (10^{-5}) g và không còn độc hại đối với con người.